Propriétés algébriques du module

P roposition

Soit  $z$ et  $z^{\prime }$ deux nombres complexes non nuls. Soit $n\in \mathbb{N}$ . On a :

• $|z\times z^{\prime }|=\left|z\right|\times \left|z^{\prime }\right|$
  
• $\left|z^n\right|={\left|z\right|}^n$
  
• $\left|{\displaystyle \frac{1}{z}}\right|={\displaystyle \frac{1}{\left|z\right|}}$
  
• $\left|{\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z}}\right|={\displaystyle \frac{\left|z^{\prime }\right|}{\left|z\right|}}$
  

Démonstration

On note $z=x+iy$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$ avec $x,y,x^{\prime }$ et  $y^{\prime }$ des réels.

• Module d'un produit
  

D'une part :

$\begin{array}{rl}\left|z{z}^{\prime }\right|=|(x+iy)(x^{\prime }+i{y}^{\prime })|& =|x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime }+i(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y)|\\ & =\sqrt{(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime }{)}^2+(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y{)}^2}\\ & =\sqrt{x^2{x}^{\prime 2}-2x{x}^{\prime }y{y}^{\prime }+y^2{y}^{\prime 2}+x^2{y}^{\prime 2}+2x{x}^{\prime }y{y}^{\prime }+x^{\prime 2}{y}^2}\\ & =\sqrt{x^2{x}^{\prime 2}+y^2{y}^{\prime 2}+x^2{y}^{\prime 2}+x^{\prime 2}{y}^2}.\end{array}$

D'autre part : $\begin{array}{rl}\left|z\right|\times \left|z^{\prime }\right|=|x+iy|\times |x^{\prime }+i{y}^{\prime }|& =\sqrt{x^2+y^2}\times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}\\ & =\sqrt{(x^2+y^2)(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})}\\ & =\sqrt{x^2{x}^{\prime 2}+x^2{y}^{\prime 2}+x^{\prime 2}{y}^2+y^2{y}^{\prime 2}}.\end{array}$

Par conséquent :  $\left|z{z}^{\prime }\right|=\left|z\right|\times \left|z^{\prime }\right|$

• Module d'une puissance
  

Montrons par récurrence que, pour tout  $n\in \mathbb{N}$ , $\left|z^n\right|={\left|z\right|}^n$ .

Initialisation
Par convention, pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $z^0=1$ donc la propriété est vraie au rang $p=0$ puisque $\left|z^0\right|=\left|1\right|=1$ et ${\left|z\right|}^0=1$ .

Hérédité
Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $\left|z^n\right|={\left|z\right|}^n$ . On a alors :
$\begin{array}{rl}\left|z^{n+1}\right|=|z^n\times z|& =\left|z^n\right|\times \left|z\right|\text{ d'après la propriété du produit}\\ & ={\left|z\right|}^n\times \left|z\right|\text{ par hypothèse de récurrence}\\ & ={\left|z\right|}^{n+1}\end{array}$

Conclusion
Par récurrence, pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $\left|z^n\right|={\left|z\right|}^n$ .

• Module d'un inverse
  

On a $|z\times {\displaystyle \frac{1}{z}}|=1$ , donc d'après la propriété du produit :
$\left|z\right|\times \left|{\displaystyle \frac{1}{z}}\right|=1$ et donc $\left|{\displaystyle \frac{1}{z}}\right|={\displaystyle \frac{1}{\left|z\right|}}$ .

• Module d'un quotient
  

On a $\left|{\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z}}\right|=|z^{\prime }\times {\displaystyle \frac{1}{z}}|=\left|z^{\prime }\right|\times \left|{\displaystyle \frac{1}{z}}\right|=\left|z^{\prime }\right|\times {\displaystyle \frac{1}{\left|z\right|}}={\displaystyle \frac{\left|z^{\prime }\right|}{\left|z\right|}}$   en utilisant les propriétés du produit et de l'inverse.