Propriétés algébriques du module

P roposition

Soit  `z` et  `z'` deux nombres complexes non nuls. Soit `n \in \mathbb{N}` . On a :

• \(\left\vert z \times z' \right\vert = \left\vert z \right\vert \times \left\vert z' \right\vert\)
  
• \(\left\vert z^n \right\vert = \left\vert z \right\vert^n\)
  
• \(\left\vert \dfrac{1}{z} \right\vert = \dfrac{1}{\left\vert z \right\vert}\)
  
• \(\left\vert \dfrac{z'}{z} \right\vert = \dfrac{\left\vert z' \right\vert}{\left\vert z \right\vert}\)
  

Démonstration

On note `z=x+iy` et \(z'=x'+iy'\) avec \(x, y, x'\) et  \(y'\) des réels.

• Module d'un produit
  

D'une part :

\(\begin{align*} \left\vert zz' \right\vert = \left\vert (x+iy)(x'+iy') \right\vert & = \left\vert xx'-yy'+i(xy'+x'y) \right\vert \\ & = \sqrt{(xx'-yy')^2+(xy'+x'y)^2} \\ & = \sqrt{x^2x'^2-2xx'yy'+y^2y'^2+x^2y'^2+2xx'yy'+x'^2y^2} \\ & = \sqrt{x^2x'^2+y^2y'^2+x^2y'^2+x'^2y^2}. \end{align*}\)

D'autre part : \(\begin{align*} \left\vert z \right\vert \times \left\vert z' \right\vert = \left\vert x+iy \right\vert \times \left\vert x'+iy' \right\vert & = \sqrt{x^2+y^2} \times \sqrt{x'^2+y'^2} \\ & = \sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(x'^2+y'^2\right)} \\ & = \sqrt{x^2x'^2+x^2y'^2+x'^2y^2+y^2y'^2}. \end{align*}\)

Par conséquent :  \(\left\vert zz' \right\vert = \left\vert z \right\vert \times \left\vert z' \right\vert\)

• Module d'une puissance
  

Montrons par récurrence que, pour tout  `n \in \mathbb{N}` , \(\left\vert z^n \right\vert=\left\vert z \right\vert^n\) .

Initialisation
Par convention, pour tout `z \in \mathbb{C}` , `z^0=1` donc la propriété est vraie au rang `p=0` puisque \(\left\vert z^0 \right\vert=\left\vert 1 \right\vert=1\) et \(\left\vert z \right\vert^0=1\) .

Hérédité
Soit `n \in \mathbb{N}` tel que \(\left\vert z^n \right\vert=\left\vert z \right\vert^n\) . On a alors :
\(\begin{align*} \left\vert z^{n+1} \right\vert =\left\vert z^n \times z \right\vert & =\left\vert z^n \right\vert \times \left\vert z \right\vert \ \ \text{ d'après la propriété du produit} \\ & =\left\vert z \right\vert^n \times \left\vert z \right\vert \ \ \text{ par hypothèse de récurrence} \\ & =\left\vert z \right\vert^{n+1} \end{align*}\)

Conclusion
Par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(\left\vert z^n \right\vert=\left\vert z \right\vert^n\) .

• Module d'un inverse
  

On a \(\left\vert z \times \dfrac{1}{z} \right\vert = 1\) , donc d'après la propriété du produit :
\(\left\vert z \right\vert \times \left\vert \dfrac{1}{z} \right\vert=1\) et donc \(\left\vert \dfrac{1}{z} \right\vert = \dfrac{1}{\left\vert z \right\vert}\) .

• Module d'un quotient
  

On a \(\left\vert \dfrac{z'}{z} \right\vert =\left\vert z' \times \dfrac{1}{z} \right\vert =\left\vert z' \right\vert \times \left\vert \dfrac{1}{z} \right\vert =\left\vert z' \right\vert \times \dfrac{1}{\left\vert z \right\vert} =\dfrac{\left\vert z' \right\vert}{\left\vert z \right\vert}\)   en utilisant les propriétés du produit et de l'inverse.